1、【证法1】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形。

2、使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，∴∠BED+∠GEF=90°。

3、∴∠BEG=180°―90°=90°又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90°∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90°即∠CBD=90°又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°。

4、BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,∴.【证法2】（项明达证明）做两个全等的直角三角形。

5、设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC。

6、交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA=90°。

7、QP∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ。

8、∴∠BMP=90°，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=°。

9、∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90°。

10、∠BCA=90°，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.【证法3】（赵浩杰证明）做两个全等的直角三角形。

11、设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG。

12、∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a。

13、∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c。

14、∠CJB=∠CFD=90°，∴RtΔCJB≌RtΔCFD，同理。

15、RtΔABG≌RtΔADE，∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE∴∠ABG=∠BCJ,∵∠BCJ+∠CBJ=90°,∴∠ABG+∠CBJ=90°,∵∠ABC=90°,∴G,B,I,J在同一直线上，【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形。

16、把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE。

17、交AB于点M，交DE于点L.∵AF=AC，AB=AD。

18、∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于。

19、ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=.同理可证，矩形MLEB的面积=.∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积∴。

20、即a^2+b^2=c^2。

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